电子四维动量：有质量粒子的相对论性描述

一、核心命题：非零静止质量决定的类时四维矢量

电子的四维动量是其相对论性描述的基础，与光子（零静止质量、类光矢量）形成根本对比。由于电子具有非零静止质量 m_e \approx 9.11 \times 10^{-31}\ \text{kg} （PDG 2023值），其四维动量是类时矢量（模长为负实常数），核心特征由静止质量与洛伦兹因子共同决定。本文在闵可夫斯基时空（度规 \eta_{\mu\nu} = \text{diag}(-1,1,1,1) ）中展开，严格遵循相对论协变性。静止质量 m_e 是洛伦兹标量，决定了类时矢量的模长，体现时空几何中“存在”的内禀属性。

二、电子四维动量的通用形式

对于以三维速度 \vec{v} （对应洛伦兹因子 \gamma = 1/\sqrt{1-v^2/c^2} ）运动的电子，其四维动量为：

p^\mu = \left( \gamma m_e c,\ \gamma m_e \vec{v} \right) = \left( \frac{E}{c},\ \vec{p} \right) \tag{1}

1. 推导：从四维速度到四维动量

- 四维速度： u^\mu = (\gamma c,\ \gamma \vec{v}) （描述粒子在时空中的“速度”，满足 u^\mu u_\mu = -c^2 ，类时矢量）；

- 四维动量定义： p^\mu = m_e u^\mu （静止质量 m_e 为缩放因子，假设无辐射反作用，适用于理想化自由运动），直接得：

p^\mu = (\gamma m_e c,\ \gamma m_e \vec{v}) \tag{2}

2. 物理分量识别

- 时间分量： p^0 = \gamma m_e c 。由相对论总能量 E = \gamma m_e c^2 ，得 p^0 = E/c （与光子形式一致，物理意义为“能量对应的时空分量”）；

- 空间分量： \vec{p} = \gamma m_e \vec{v} 。即相对论性三维动量，低速极限（ v \ll c ，忽略辐射效应）下 \gamma \approx 1 ，退化为经典动量 \vec{p} \approx m_e \vec{v} 。

3. 核心关系：类时矢量的模长不变性

四维动量的模方（洛伦兹不变量）由度规计算：

p^\mu p_\mu = \eta_{\mu\nu} p^\mu p^\nu = -(p^0)^2 + |\vec{p}|^2 \tag{3}

代入 p^0 = \gamma m_e c 、 \vec{p} = \gamma m_e \vec{v} ：

p^\mu p_\mu = -(\gamma m_e c)^2 + (\gamma m_e v)^2 = -\gamma^2 m_e^2 c^2 \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right) = -m_e^2 c^2 \tag{4}

结合 E = \gamma m_e c^2 、 \vec{p} = \gamma m_e \vec{v} ，消去 \gamma 得能量-动量关系：

E^2 = p^2 c^2 + m_e^2 c^4 \tag{5}

关键结论：电子四维动量是类时矢量（模方为负常数 -m_e^2 c^2 ），与光子的类光矢量（模方为0）根本不同。由 p^\mu p_\mu = -m^2 c^2 可知：若 m \neq 0 则 p^\mu p_\mu < 0 （类时），若 m = 0 则 p^\mu p_\mu = 0 （类光）——静止质量直接决定时空曲线的类型（电子世界线为类时曲线，光子为类光线）。

三、与光子的对比：静止质量的决定性作用

特性 光子（无静止质量 m_0=0 ） 电子（有静止质量 m_e \approx 9.11 \times 10^{-31}\ \text{kg} ）

四维动量 p^\mu = \left( \frac{h\nu}{c},\ \frac{h\nu}{c}\hat{n} \right) （仅适用于单色平面波， \hat{n} 为传播方向单位矢量） p^\mu = \left( \gamma m_e c,\ \gamma m_e \vec{v} \right) （速度 \vec{v} 的函数）

能量-动量关系 E = pc （线性关系，无静能） E^2 = p^2 c^2 + m_e^2 c^4 （二次关系，含静能 E_0 = m_e c^2 ）

四维动量模方 p^\mu p_\mu = 0 （类光矢量，零模） p^\mu p_\mu = -m_e^2 c^2 （类时矢量，洛伦兹不变量）

静止参考系 不存在（永远以光速 c 运动，类光线） 存在（ \vec{v}=0 时， \gamma=1 ， \vec{p}=0 ， E = m_e c^2 ，类时曲线有静止点）

速度 恒为 c v = \frac{pc^2}{E} < c （由 E^2 = p^2 c^2 + m_e^2 c^4 推导）

四、“产生”与“传播”时的四维动量

1. 产生：能量-动量守恒约束

电子的产生（如粒子对撞、放射性衰变）需满足总四维动量守恒（初态总 P^\mu_{\text{初}} = 末态总 P^\mu_{\text{末}} ）。

- 电子对产生：高能光子（ \gamma 射线）与原子核场作用产生 e^-e^+ 对，阈值条件需同时满足能量与动量守恒：

- 能量守恒： E_\gamma = E_{e^-} + E_{e^+} \geq 2m_e c^2 \approx 1.02\ \text{MeV} （静能之和）；

- 动量守恒：原子核吸收反冲动量（否则真空中无法满足 \vec{p}_\gamma = \vec{p}_{e^-} + \vec{p}_{e^+} ）。因此，阈值恰为 E_\gamma = 2m_e c^2 （原子核质量远大于电子，反冲能量可忽略）。

- μ子衰变： \mu^- \to e^- + \bar{\nu}_e + \nu_\mu 中，末态电子四维动量受初态μ子动量及三体相空间约束，呈连续分布（非简单分配）。

2. 传播（平直时空：惯性系中）

- 自由电子：不受外力时，四维动量守恒（ p^\mu = \text{常量} ），以恒定速度 \vec{v} 沿直线运动，模长 |p^\mu| = m_e c 不变；

- 静止参考系特例：当 \vec{v}=0 （ \gamma=1 ），四维动量简化为 p^\mu = (m_e c,\ 0) ，对应能量 E = m_e c^2 （静能，占总能量100%）。在高速参考系（如 \gamma \gg 1 ），静能占比降至 1/\gamma 量级（例如 \gamma=10^4 时仅占0.01%），动能主导。

3. 传播（弯曲时空/外力作用）

- 电磁场中：电子受洛伦兹力，四维动量变化满足协变洛伦兹力方程：

\frac{dp^\mu}{d\tau} = q F^{\mu\nu} p_\nu \tag{6}

其中 q=-e 为电子电荷， F^{\mu\nu} 为电磁场张量， \tau 为固有时（因电子有静止质量，固有时良定义）；

- 引力场中（广义相对论）：电子沿弯曲时空的测地线运动（自由粒子，无外力），满足测地线方程：

\frac{dp^\mu}{d\tau} + \Gamma^\mu_{\nu\sigma} p^\nu p^\sigma = 0 \tag{7}

\Gamma^\mu_{\nu\sigma} 为克里斯托费尔符号（描述时空曲率），参数为固有时 \tau （与光子用仿射参数不同）。

五、关键结论：有质量粒子的四维动量本质

1. 类时矢量的核心：电子四维动量 p^\mu = (\gamma m_e c,\ \gamma m_e \vec{v}) 是类时矢量，模方 p^\mu p_\mu = -m_e^2 c^2 为洛伦兹不变量，静止质量是时空几何的内禀属性（“时空锚定”指数学上模方不变性，非物理力）；

2. 静止参考系的存在性：电子可在瞬时静止系中“停留”（ \vec{p}=0 ），此时能量为静能 E_0 = m_e c^2 （占比100%），与运动状态无关；

3. 能量-动量关系的完备性： E^2 = p^2 c^2 + m_e^2 c^4 统一描述静能与动能，高速时动能主导（ E \approx pc ），低速时退化为经典力学；

4. 协变性普适性：无论在平直/弯曲时空、受力/自由运动，四维动量的协变形式（式1、6、7）均成立，是描述有质量粒子相对论行为的“统一语言”。

六、举例：电子在加速器中的四维动量（LEP实验参数）

大型电子-正电子对撞机（LEP）中，电子被加速至 \gamma \approx 2 \times 10^5 （速度 v \approx c ，误差 <10^{-8} ）：

- 静能： E_0 = m_e c^2 \approx 0.511\ \text{MeV} = 8.19 \times 10^{-14}\ \text{J} ；

- 总能量： E = \gamma m_e c^2 \approx 100\ \text{GeV} = 1.60 \times 10^{-8}\ \text{J} （ \gamma = E/E_0 \approx 2 \times 10^5 ）；

- 四维动量： p^\mu = (E/c,\ \gamma m_e \vec{v}) \approx \left( \frac{1.60 \times 10^{-8}}{3 \times 10^8},\ \frac{1.60 \times 10^{-8}}{3 \times 10^8} \hat{v} \right) \approx (5.3 \times 10^{-17},\ 5.3 \times 10^{-17}\ \hat{v})\ \text{kg·m/s} （注： 1\ \text{eV}/c = 5.34 \times 10^{-28}\ \text{kg·m/s} ， 100\ \text{GeV}/c \approx 5.3 \times 10^{-17}\ \text{kg·m/s} ）；

- 模方： p^\mu p_\mu = -m_e^2 c^2 \approx -(9.11 \times 10^{-31})^2 \times (3 \times 10^8)^2 \approx -7.5 \times 10^{-44}\ \text{kg}^2·\text{m}^2/\text{s}^2 （洛伦兹不变量）。

总结：电子的四维动量是其“有质量”属性的直接体现——静止质量赋予它类时矢量的本质、静止参考系的存在性，以及能量-动量关系的非线性特征。与光子的“无质量纯粹运动”相比，电子的四维动量更深刻地揭示了时空与物质的耦合：质量不仅是“重量”，更是时空几何中“存在”的度量。