万有引力公式为什么不用静止质量？

——经典力学与广义相对论的引力源之争

要回答“万有引力公式为什么不用静止质量”，需区分经典力学（牛顿）与广义相对论（爱因斯坦）的框架差异，并明确“静止质量”在不同理论中的角色。结论是：经典万有引力公式隐含使用静止质量（当时“质量”即静止质量），而广义相对论中引力的源是更全面的“能量-动量张量”（静止质量仅为其中一部分），因此不再单独用静止质量。

一、经典万有引力公式：隐含使用静止质量

牛顿万有引力定律的表达式为：

F = G\frac{Mm}{r^2}

其中 M 和 m 是引力质量，在牛顿力学中与惯性质量等价（等效原理）。需明确：牛顿时代的“质量”本质就是现代定义的“静止质量”，尽管当时尚无此术语。

1. 历史语境：牛顿的“绝对质量”即静止质量

牛顿力学中的“质量”是与参考系无关的标量，隐含“物体固有属性”之意，与现代“静止质量”（物体在瞬时静止系中的质量）完全一致。牛顿未区分“静止质量”与“相对论质量”（后者是狭义相对论产物），而是将质量视为绝对不变量。

2. 低速近似：静止质量是引力的核心源

在低速（ v \ll c ）情况下，物体动能极小，总能量 E \approx m_0 c^2 （ m_0 为静止质量）。此时，引力公式中的“ M ”“ m ”数值上等于静止质量。对地球、太阳等天体（ v \sim 10^3\ \text{m/s} \ll c ），用静止质量计算的引力误差小于 10^{-9} ，完全满足工程精度需求。

3. 操作主义视角：测量锚定静止质量

牛顿时代测量“质量”的方法是振动周期法（ T=2\pi\sqrt{m/k} ）或天平比较，实际测量的是惯性质量。等效原理保证惯性质量等于引力质量，使“质量”天然锚定在静止质量上——无需额外引入“静止”前缀，因其本身就是“固有质量”的同义词。

简言之，经典万有引力公式不是“不用”静止质量，而是用它作为引力的核心源（默认“质量=静止质量”）。

二、广义相对论：引力的源是“能量-动量张量”

当物体速度接近光速（ v \sim c ）或引力场极强时，牛顿力学失效，需用广义相对论描述引力。此时，引力的本质不再是“超距力”，而是物质能量导致时空弯曲的几何效应，其源是能量-动量张量（ T_{\mu\nu} ）——包含物体的所有能量形式（静止能量、动能、热能）、动量、压力等。

广义相对论的场方程为：

G_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}

- G_{\mu\nu} （爱因斯坦张量）：描述时空弯曲程度；

- T_{\mu\nu} （能量-动量张量）：描述物质和能量的分布（引力的真正源）；

- G （引力常数）、 c （光速）：常数。

1. 能量-动量张量与静止质量的关系

静止质量（ m_0 ）是能量-动量张量的静能分量。对静止物体（ v=0 ）， T_{\mu\nu} 的时间-时间分量（ T_{00} ）为能量密度：

T_{00} = \epsilon = \rho_0 c^2

其中 \rho_0 是静止质量密度（ \rho_0 = m_0 n ， n 为粒子数密度）。此时，广义相对论退化为牛顿万有引力的近似（泊松方程 \nabla^2 \phi = 4\pi G\rho_0 ），静止质量仍是低速引力的核心源。

但对运动物体（ v \neq 0 ）， T_{\mu\nu} 还包含动量流（ T_{0i} = \gamma m_0 v_i c ， \gamma 为洛伦兹因子）、应力张量（ T_{ij} ，如压力）等。例如，高速质子（动能远大于静止能量）的引力源主要是动能项（ T_{00} \propto \gamma m_0 c^2 ），而非静止质量。

2. 为何不用“静止质量”单独作为源？

广义相对论的核心是“时空弯曲由全部能量-动量决定”，静止质量只是能量的一种形式（静能）。若用静止质量单独作为源，会忽略以下关键事实：

（1）能量等价性：所有能量都产生引力

根据质能方程 E=mc^2 ，热能、电磁能、核能等均有引力效应。例如：

- 热能效应：1 kg水从0C升至100C，内能增加 \Delta E \approx 4.2 \times 10^5\ \text{J} ，等效质量增量 \Delta m = \Delta E/c^2 \sim 5 \times 10^{-12}\ \text{kg} ，引力强度增加 \Delta F/F \sim 10^{-12} （微观精密实验可测，宏观可忽略）；

- 光子引力：光子静止质量 m_0=0 ，但能量 E=h\nu 和动量 p=E/c 使 T_{\mu\nu} \neq 0 ，导致引力透镜效应（如星光经太阳偏折角 \alpha = 4GM/(c^2 r) ）。

（2）动量与压力的贡献不可忽略

- 极端致密天体：中子星内部压力达 10^{34}\ \text{Pa} ，应力张量分量 T_{ii} 对时空曲率的贡献与能量密度相当，若仅用静止质量会严重低估引力；

- 早期宇宙：辐射主导期（ t < 10^4 年），光子能量密度 \rho_{\text{rad}} \propto a^{-4} （ a 为宇宙尺度因子），其引力效应远超静止质量主导的物质。

（3）摒弃“相对论质量”误区

历史上“相对论质量” m=\gamma m_0 （随速度变化）已被淘汰：它依赖参考系，且无法描述压力等非质量效应。广义相对论直接用 T_{\mu\nu} 描述引力源，更本质、更全面。

三、关键推论：静止质量不足以描述引力

静止质量是能量的集中形式，但不是唯一形式。以下例子体现其局限性：

例1：光子（无静止质量却有引力）

光子静止质量 m_0=0 ，但能量 E=pc 和动量 p=E/c 使其贡献到 T_{\mu\nu} ，因此光会产生引力（如引力透镜）并被引力弯曲（如星光偏折）。若只用静止质量，无法解释这一现象。

例2：热气体（内能改变系统静止质量）

两相同密封容器装有等量理想气体分子。低温容器总能量 E_1 \approx N m_0 c^2 （ N 为分子数），高温容器因分子动能增加，总能量 E_2 > E_1 。根据质能等价，系统静止质量 M_0^{(2)} = E_2/c^2 > M_0^{(1)} = E_1/c^2 ，故高温容器引力更强（注意：此处“系统静止质量”包含内部能量，非单个分子静止质量）。

例3：宇宙演化（多能量形式驱动膨胀）

弗里德曼方程（描述宇宙膨胀）中，引力源是总能量密度 \rho ：

- 物质主导期： \rho \approx \rho_0 a^{-3} （ \rho_0 为静止质量密度）；

- 辐射主导期： \rho \approx \rho_{\text{rad}} a^{-4} （ \rho_{\text{rad}} 源自光子能量， m_0=0 ）；

- 暗能量主导期： \rho \approx \text{const} （负压强贡献“排斥引力”）。若仅用静止质量，将丢失辐射与暗能量效应，无法解释宇宙加速膨胀。

四、总结：静止质量在万有引力中的角色

理论框架 万有引力的源 静止质量的作用

经典力学（牛顿） 静止质量（ M, m ） 直接且充分：低速下是唯一源， F \propto m_0

广义相对论 能量-动量张量 T_{\mu\nu} 必要但不充分：仅贡献静能部分 T_{00} ，动能、压力等同等重要

最终结论

1. 经典公式隐含静止质量：牛顿时代的“质量”即静止质量，低速下与引力质量等价，计算结果高度精确；

2. 广义相对论扩展引力源：引力的本质是时空弯曲，源是全部能量-动量（静止质量仅为静能分量），需用 T_{\mu\nu} 描述；

3. 低速极限统一二者：当 v \ll c 时， T_{\mu\nu} 退化为 T_{00} = \rho_0 c^2 ，广义相对论回归牛顿引力，静止质量仍是核心源。

简言之，万有引力公式从未“抛弃”静止质量——它是广义相对论中引力源的基石组成部分，但非完整描述。这一演进彰显物理学的核心方法论：理想化模型随认知深化而扩展，旧理论的正确部分在新框架中获得更深刻诠释。

尾声：静止质量——理性的路标

爱因斯坦曾说：“理论决定我们能观察到什么。”静止质量的故事正是这一箴言的写照：它是牛顿引力的“眼睛”，是广义相对论的“基石”，更是人类用理性穿透现象迷雾的永恒路标。从苹果落地到星光偏折，从粒子加速器到宇宙膨胀，静止质量始终是连接经典与相对论、理想与实在的纽带——它提醒我们：科学的伟大，在于用抽象透镜照见永恒实在。