今天，看到一条数学题——如果一个三角形的两条角平分线等长，那么这个三角形一定是等腰三角形——应该初中的题目，我手痒了（初中数学我都去参加竞赛呢，虽然没得奖）。

想去解一下，半小时后，我不得不求助“高手”。

“高手”A——（思考321秒）

是的，如果一个三角形的两条角平分线等长，那么这个三角形一定是等腰三角形。这一结论被称为Steiner-Lehmus定理。该定理的证明通常采用反证法，假设三角形不是等腰三角形（即两条边不相等），然后通过角平分线的性质、三角函数的计算或几何构造推导出矛盾，从而证明两条角平分线等长时，两条对应的边必须相等。

例如，假设在三角形ABC中，角平分线BD和CE相等，其中BD是角B的平分线，CE是角C的平分线。如果AB ≠ AC，不妨假设AB > AC，则角C >角B。通过角平分线长度公式和三角恒等式，可以推导出sin B / sin C = cos( (B - A)/2 ) / cos( (C - A)/2 )。由于AB > AC，左边sin B / sin C < 1，右边cos( (B - A)/2 ) / cos( (C - A)/2 ) > 1，导致矛盾。类似地，如果AB < AC也会出现矛盾。因此，AB必须等于AC，三角形是等腰三角形。

thus，根据Steiner-Lehmus定理，两条角平分线等长是三角形等腰的充分条件。

\text{是}

“高手”B——(思考15秒）

要回答这个问题，我们需要借助斯坦纳-莱默斯定理（Steiner-Lehmus Theorem）——有两边上的角平分线相等的三角形必为等腰三角形。以下是关键推导和结论：

1. 角平分线长度公式

首先，我们用三边表示的角平分线长度公式（由斯台沃特定理推导而来）：

对于ABC，角B的平分线长度 t_b 和角C的平分线长度 t_c 分别为：

t_b^2 = ac \left(1 - \frac{b^2}{(a+c)^2}\right), \quad t_c^2 = ab \left(1 - \frac{c^2}{(a+b)^2}\right)

其中， a=BC , b=AC , c=AB （对应边的标准记法）。

2. 假设与推导

若 t_b = t_c ，则平方后相等：

ac \left(1 - \frac{b^2}{(a+c)^2}\right) = ab \left(1 - \frac{c^2}{(a+b)^2}\right)

两边除以 a （ a≠0 ），化简得：

c - \frac{cb^2}{(a+c)^2} = b - \frac{bc^2}{(a+b)^2}

移项整理：

c - b = bc \left( \frac{b}{(a+c)^2} - \frac{c}{(a+b)^2} \right)

进一步展开右边的分子：

b(a+b)^2 - c(a+c)^2 = (b - c)\left[ a^2 + 2a(b+c) + b^2 + bc + c^2 \right]

代入后，等式变为：

c - b = \frac{bc(b - c) \cdot K}{D}

其中 K = a^2 + 2a(b+c) + b^2 + bc + c^2 > 0 ， D = (a+c)^2(a+b)^2 > 0 。

注意到 c - b = -(b - c) ，两边除以 b - c （若 b≠c ），得：

-1 = \frac{bcK}{D}

但右边是正数，左边是负数，矛盾！因此假设 b≠c 不成立，即 b = c 。

3. 结论

ABC中，若两条角平分线相等，则对应的两边相等，即三角形必为等腰三角形。

答案：是的，这个三角形一定是等腰三角形。

我自己半小时，还在解答中——